62.不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

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输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

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输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

Solution

先用记忆化搜索：

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class Solution {
    // 记忆化加递归
    int[][] memo;
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        memo = new int[m][n];
        return dfs(m - 1, n - 1);
    }

    private int dfs(int m, int n) {
        // 1.边界
        if (m <= 0 || n <= 0) {
            return 1;
        }
        // 2. 剪枝
        if (memo[m][n] != 0) return memo[m][n];
        // 3. 递归
        int res = dfs(m - 1, n) + dfs(m, n - 1);
        return memo[m][n] = res;
    }   
}

然后dp

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class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }   
}

实际上不必用二维数组，可以直接用一维数组表示

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class Solution {
    // 主方法，计算从矩阵的左上角到右下角的唯一路径数
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 初始化一维数组 dp，大小为 n
        int[] dp = new int[n];
        // 第一行的所有位置初始化为 1，因为只能向右移动
        Arrays.fill(dp, 1);

        // 遍历从第二行开始到最后一行
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            // 第一列的值保持为 1，因为只能向下移动
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                // 当前 dp[j] 的值等于上方 dp[j] 和左方 dp[j-1] 的和
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }

        // 返回最后一个位置的值，即为到达右下角的路径数
        return dp[n - 1];
    }
}

dp[j] += dp[j - 1] 表示当前 dp[j] 的值等于上方 dp[j] 和左方 dp[j-1] 的和。这里的 dp[j] 已经包含了上方的值，dp[j - 1] 是左方的值。