322.零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

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输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

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输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

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输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

完全背包

在01背包中，物品只能被选择1次，而在完全背包中，物品能被选无数次

很自然的写出回溯表达式：

回溯代码:

这里的if (i < 0) return c == 0 ? 0 : Integer.MAX_VALUE / 2;这个表达式很关键，表明了如果无法找零，那么直接标记缓存数组为最大值，从而在接下来的最小值比较中总是不被选择

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import java.util.Arrays;

class Solution {
    private int[] coins;  // 存储硬币面值的数组
    private int[][] memo;  // 记忆化搜索，用于存储中间结果的缓存数组

    // 主方法，找到组成金额的最少硬币数量
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        this.coins = coins;
        int n = coins.length;
        // 初始化记忆化数组，大小为 [n][amount + 1]
        memo = new int[n][amount + 1];
        for (int[] row : memo)
            Arrays.fill(row, -1); // 将所有元素初始化为 -1，表示未访问过
        int ans = dfs(n - 1, amount);  // 调用深度优先搜索方法
        return ans < Integer.MAX_VALUE / 2 ? ans : -1;  // 如果结果小于无穷大，返回结果，否则返回 -1 表示无法找零
    }

    // 深度优先搜索方法
    private int dfs(int i, int c) {
        // 基本条件：如果索引 i 小于 0，检查是否金额 c 为 0，如果是返回 0，否则返回一个极大值
        if (i < 0) return c == 0 ? 0 : Integer.MAX_VALUE / 2; // 除 2 是防止 + 1 溢出
        // 如果已经计算过这个状态，直接返回缓存中的结果
        if (memo[i][c] != -1) return memo[i][c];
        // 如果当前金额 c 小于当前硬币面值 coins[i]，跳过当前硬币
        if (c < coins[i]) return memo[i][c] = dfs(i - 1, c);
        // 否则，选择最优解，比较不使用当前硬币和使用当前硬币的结果
        return memo[i][c] = Math.min(dfs(i - 1, c), dfs(i, c - coins[i]) + 1);
    }
}

  • 递推
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class Solution {

    // 主方法，用于计算组成指定金额的最少硬币数量
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int n = coins.length;  // 获取硬币种类的数量
        int[][] f = new int[n + 1][amount + 1];  // 初始化二维数组 f，大小为 (n+1) x (amount+1)
    
        // 初始化动态规划数组，设置初始值为 Integer.MAX_VALUE / 2
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= amount; j++) {
                f[i][j] = Integer.MAX_VALUE / 2;
            }
        }
        f[0][0] = 0;  // 设置初始状态，不选择任何硬币时，金额为 0 的最小硬币数为 0

        // 动态规划填充数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {  // 遍历每个硬币
            for (int c = 0; c <= amount; c++) {  // 遍历每个金额
                if (c < coins[i]) {
                    // 如果当前金额小于硬币面值，不能使用当前硬币
                    f[i + 1][c] = f[i][c];
                } else {
                    // 否则，选择不使用当前硬币或使用当前硬币中的最小值
                    f[i + 1][c] = Math.min(f[i][c], f[i + 1][c - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }

        // 返回结果，如果结果等于初始值，表示无法找零，返回 -1；否则返回结果
        return f[n][amount] == Integer.MAX_VALUE / 2 ? -1 : f[n][amount];
    }
}

  • dp

这里不需要像01背包一样从后往前遍历，因为完全背包问题的状态转移是f(i+1)到f(i+1)的,并不完全依赖于f(i)

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import java.util.Arrays;

class Solution {
    // 主方法，用于计算组成指定金额的最少硬币数量
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // 初始化一维数组 f，大小为 amount + 1
        int[] f = new int[amount + 1];
        // 将数组 f 的所有元素填充为 Integer.MAX_VALUE / 2，表示初始状态下的最大值
        Arrays.fill(f, Integer.MAX_VALUE / 2); // 除以 2 是防止下面 + 1 溢出
        f[0] = 0; // 设置初始状态，金额为 0 的最小硬币数为 0

        // 遍历每个硬币面值
        for (int x : coins) {
            // 遍历每个金额，从硬币面值开始，直到目标金额
            for (int c = x; c <= amount; ++c) {
                // 更新 f[c]，选择不使用当前硬币和使用当前硬币中的最小值
                f[c] = Math.min(f[c], f[c - x] + 1);
            }
        }

        // 获取结果，f[amount] 表示组成目标金额的最少硬币数量
        int ans = f[amount];
        // 如果结果小于 Integer.MAX_VALUE / 2，返回结果；否则返回 -1 表示无法找零
        return ans < Integer.MAX_VALUE / 2 ? ans : -1;
    }
}