解析：

分母：$sin\pi x$在$x$为整数时$\to 0$，

分子在$x=0,x=1,x=-1$时也为0，

依次将0，-1，1代入求极限，可以得到，这三点都是可去间断点，所以选C

解析：

1. 直接用$x-sinx \sim \frac{1}{6}x^3$这个结论
2. 洛必达法则

所以选A

解析：可能点有三个：$1,-1,0，x=1$时，可以直接约去，$x=0$时，极限为1，故只有$x=-1$一个点，选B

解析：用$x-sinx \sim \frac{1}{6}x^3$代换，选C

解析：将极限拆开，考察的是导数的定义，选B

解析：首先有水平渐近线，故无斜渐近线，还有1条垂直渐近线，故有2条

解析：$S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}$，所以如果$S_n$有界，那么$a_n$肯定会收敛到0，而$a_n$收敛，假设$a_n=\frac{1}{n}$，那么$S_n$不收敛，所以是充分非必要条件，选B

解析：等价代换之后，很明显选C

解析：等价代换后即可，B

解析：简单代换后，分别是 $2 ，\frac{5}{6}，1$,所以选B

解析：只有D满足，不会有正负抵消的情况

解析：$e^{x}$泰勒展开即可

解析：显然是3，选C

解析：算出结果来，选D

解析：2(3+1)=8，所以是高阶无穷小，选C

解析：$secx$是偶函数，所以$a=0$，而$secx$在零点附近是大于1的，所以$b>0$，选D

解析：首先1,4是对的，重点关注3，其中$o(a(x))$表示的是$a(x)$的高阶无穷小，当然成立，所以选C

解析：本质上是看$a_n$的上限与下限，$a_1>1$而$a_2<1$,又$n\to \infty$ 时 $a_n=1$，所以$a_1>a_n>a_2$,有最大值，也有最小值

解析：AB都错，因为$cosx_n$是偶函数，C也错，$x_n$一定存在，D正确

解析：用$1^{\infty}$的常见做法即可

解析：用定积分定义：

解析：用$1^{\infty}$的方法即可

解析：定积分的定义

解析：直接用$arctanx$的运算公式简化运算，或者是拉格朗日定理

解析：用$1^{\infty}$的结论

解析：把$x$次幂提出来更好算

解析：证明$g’(x)$连续，那么要证明在不可导点的导数和常规的导数一致

解析：$1^{\infty}$方法

解析：本题难度较低，分母可以直接化成$x^4$，然后$1-cos\sim\frac{1}{2}x^2,x-ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2$，可以很轻松的求出是$\frac{1}{4}$

解析：分别求极限即可

解析：第一问好证明，第二问需要观察到$x>ln(1+x)$，将所有$x$替换成$ln(1+x)$证明其有下界

解析：重复用洛必达法则即可求解：

第一问可用求和公式+单调性解决，而第二问需要用到单调有界法则证明极限存在

第二问解法将$x_{n}$带入到了$f_NaN$的序列中去，从而判断出$x_n>x_{n+1}$

解析：这种题直接泰勒展开

解析：第1问只要算导数即可，第2问最难的是找到$x_n$的上界

解析：到等价无穷小的代换以及洛必达法则

解析：先求出$f_{n}(x)$的表达式，然后算出$S_n$的表达式，然后求极限

解析：泰勒展开到三阶即可

解析：泰勒展开即可

解析：先处理积分，再用洛必达法则

解析：这里用了一个非常很重要的方法，把1代换为$e^{0}$，这样就可以用中值定理，算出$e^{\xi}$，从而知道单调性。并且从0点开始，也暗示了下界

解析：这题非常难，因为$sinx$是周期性函数，所以需要将积分分周期表示出来，最后要根据等比数列求和公式计算出积分

解析：各种方法都行

解析：先算出$f(0)=0$，之后用导数定义即可

对方程$x^2+y^2=2$两端对$x$求导，得$2x+2yy’=0,y’(1)=-1$

再求导得$2+2(y’)^2+2yy’’=0，y’’(1)=-2$

所以$f’(1)<0，f’’(1)<0$，$f(x)$在（1,2）上单调减少，无极值

而$f(1)=1>0，f(2)=f’(\xi)+f(1)<f’(1)+1=0$

由零点定理得必有零点，故选B

很常规的一道题：

解析：先将$f(x)$拆开后，求导$f’(x)=0$即可得出结论

解析：对$z$求二阶导，要求其二阶导>0，显然选A

解析：把$f(x)$拆成$(e^x-1)g(x)$即可，选A

解析：先带入$x=0$算出$f’(0)$，然后用导数定义求解

解析：首先排除水平渐进线和垂直渐进线，逐个验证其斜渐近线，选C

解析：首先注意到$g(1)=f(1)$，$g(0)=f(0)$这个条件，再对两端求导，发现$g‘(x)$是一个常数，即$g(x)$是一条直线，则$f’’(x)>0$时，满足条件，选D

解析：注意是曲率半径$\frac{1}{r}$，而不是曲率

解析：本质上是将$\xi$用$x$表示之后，在等价代换即可

解析：极限为$e^t$，$x=0$时肯定有间断点，可去

解析：首先是确保$x^a$的$a≥0$才连续，然后$f’(x)$在0点和0点周围要连续

解析：图中正负发生改变的点，即是拐点，所以有2个，选C

解析：图中正负号发生变化的是极值点，零点是拐点，故选B

解析：画图有助于解决此类问题，比较二阶导即可

解析：在0点的极限相等

解析：画图可以清晰的看到，积分是小于0的，选B

解析：常规题

解析：就按定义计算导数

解析：处理好交界点的连续性即可

解析：需要观察，在$x=0$和$x=\pi$的时候都为0，所以需要验证

解析：相切且曲率相等的前提是$y’$相等，$|y’’|$也相等，条件可以推出$y’$和$y’’$相等，是充分条件，但是$|y’’|$相等推不出$y’’$相等，所以选A

解析：可能的点有1,2，-1,0四个点，带入计算

解析：展开$ln(1-x)$的泰勒公式最为简单，也可以求三阶导然后带入

解析：可以假设$f(x)$是$e^{ax}(a>1)$类型的函数，所以只能证明$e^{a}>e$，所以选B

解析：肯定连续，可导要判别$f’(0)$

解析：写出体积和表面积的公式，再对半径和高求导，其实是多元函数

解析：将$\frac{b}{a}$设为一个变量，然后画出图形

解析：有二阶导数说明$f’(x)$是连续的，所以能说明在领域内单调增加，选B

解析：首先要注意：$x=0,y=0$,那么$t=1$，然后分别求导，求出$y’$，最后写出方程

解析：利用对数求导法求出$y’$，然后根据$y’=0$，求出$x$的值，带入即最小值

解析：首先$x=0$，可以求出$y=0$，然后对方程两端求一次导，求出$y’$,然后再求一次导，带入$x,y,y’,$即可求出$y’’$

解析：首先排除水平渐进线和垂直渐近线，可以计算出a和b的值

解析：对$ln(1-2x)$求导以归纳规律

解析：首先写出对角线关于$l$和$w$的方程，然后再求导，即是对角线增加的速率

解析：对方程求二次导即可

解析：将x，y地位互换

解析：带入公式可计算：

解析：由$y$的值推出$x$的值

常规题

解析：常规题

解析：常规题

解析：多项式定理

解析：常规题

解析：归纳法

解析：先列出$v_0$和$l$的关系，在求导算出变化率

解析：常规题

解析：常规题

解析：求出$y’$和$y’’$即可

解析：求出斜率，找到点，列方程，求截距

解析：常规题

解析：

解析：

引进辅助函数即可证明：

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

因为$F(a)=F(b)$，由罗尔定理$F’(\xi)=0$，即可证明拉格朗日定理

解析：本质是微分方程求解，$\psi(1)$和$\psi’(1)$都是条件

解析：设原函数$F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$，用微分中值定理即可证明

解析：常规题，特别要注意的是算出$t$的值后，要把$x,y$的值也带入算出来

解析：组成一个新的函数，求其最小值大于等于0即可

解析：奇函数隐含$f(0)=0$，第1问用拉格朗日定理即可

第2问需要设置$F(x)$

解析：求出$x_0$后，用拉格朗日定理可以很好求解

解析：$y’=0$求出可能的$x$的点，然后求出$y$的值，再求$y’’$的值来判断极大或极小

解析：问1可由保号性证明，而问2的关键在于判断出原函数后，证明3点同值即可

解析：利用条件列出微分方程，然后求解

解析：$k$单独表示，然后求导

解析：先求解出用$P$点$x$表示$S$的面积，再对$x$求导，即是$S$的变化率

解析：尤其注意连接点的导数

解析：用待定系数法做，注意$x^2+x+1$对应的系数我$Ax+B$

解析：第1问由积分中值定理+拉格朗日中值定理可证，第2问需要假设出原函数后，反复用中值定理

解析：第1问用零点定理好证明，第2问，需要看出$ln1$和$f(1)$都为0，所以是用柯西中值定理

解析：

解析：必要性的证明方法在之前的选择题中有所体现

解析：在$[-1,0]$阶段，$f(x)=1$，显然是$y=x$曲线，所以排除AC

而在$[2,3]$时，$f(x)=0$，所以$F(x)$的值不会在$[2,3]$增长，选D

解析：有两个暇点需要讨论，在$x\to 0$时比较好计算，而在$x\to1$ 时需要用到比较审敛法

解析：在$[0,\frac{\pi}{4}]$区间，显然$sinxI$，而$sinx<1$，故$cotx>cosx$，所以$J>K>I$，选B

解析：该题的被积函数一样，积分区域不一样，所以用让积分相减比大小

解析：根据总结的上限积分规律，$x=\pi$ 是$f(x)$的跳跃间断点，则$F(x)$连续但不可导，选C

解析：从两个方向考虑：

解系：可以逐个计算，结果选D

解析：首先原函数要连续，其次，导数为$lnx$，选D

解析：很明显会在$t=25$的时候追上

解析：

解析：找到了$M=\pi$的中间桥梁

解析：熟悉$arcsinx$的导数即可

解析：如果是$\frac{1}{n}$，那么里面也要被分成$n$份，只有B符合条件

解析：更改次序后方便计算

解析：直接带1进去，发现$p≠1$，排除B和D，在$x\to 1$的时候，$lnx\sim 1-x$，所以$-p<1,p>-1$选A

解析：$ln(1+x)>\frac{x}{2}$，$I_2>I_1$，而$1+sinx<1+cosx ,2x>ln(1+x)$，所以$I_3>I_2$，选A

解析：积分函数是偶函数，同时积分区间关于原点对称，所以可以算$[0,+\infty]$积分即可

解析：拆成$[-\infty,0]$和$[0,+\infty]$两个区间，$x<0$时为0，$x>0$时，积分为$\frac{1}{\lambda}\int_0^{+\infty}te^{-t}dt=\frac{1}{\lambda}$，所以答案为$\frac{1}{\lambda}$

解析：先用弧长公式，再用积分公式可得结论

解析：主要就是考察分部积分法的计算，属于是纯计算问题，按优先级先将$sinnx$积进去

根据极坐标方程的弧长公式可轻松求解

解析：和之前的$r=1+cos\theta$的题很相似，注意要乘上$r$

解析：

解析：转化为$x,y$，并根据参数方程的形式求出$y’$

解析：常规题

解析：分部积分法：

解析：直接拆开即可

解析：

解析：交换积分次序

解析：画出图后，用微元法分析：

其中积分距离是$x$，而因为是等腰三角形，积分区域=$2(a-x)$

解析：

解析：

首先将根式化为$t$，然后正好用分部积分法，然后用待定系数法求解积分即可，最后结果记得$+C$

解析：先对函数$f(x)$求导，然后根据$f’(x)=0$的点判断单调区间与极值

解析：显然$t>ln(1+t)$，所以第一问易证，证明出第一问的结论后，直接夹逼定理可得出极限

解析：此题实际上就是其阴影部分面积，下半部分椭圆面积为$\frac{1}{2}\pi ab$，而上半部分的面积需要用定积分计算

首先椭圆的公式为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，将$y$用$x$表示，最后将$y=bsinx$代换即可算出上半部分面积

解析：第1问用积分中值定理易证，第2问用单调性

解析：不需要算出具体的值，只需要判断>0or<0即可

解析：对$x$的取值分类讨论

解析：根式设为$t$即可

解析：其实是一个微分方程

解析：计算量大

解析：分别将$\lambda y_1+\mu y_2$和$\lambda y_1-\mu y_2$带入方程，即可得到$\lambda+\mu=1,\lambda=\mu$的结论，故选A

解析：$\lambda$ 和 $-\lambda$就是特征方程的两个解，根据叠加原理，答案为C

解析：算出$r$,然后设特解

解析：说明有齐次方程是$r=-1$的重根，算出齐次方程后带入$e^x$解出c

解析：

直接列特征方程然后拆项，$(r-2)(r^2+1)=0$，故可以写出通解$C_1e^{2x}+C_2sinx+C_3cosx$

解析：直接带入公式即可得到，$y=e^{-x}sinx$

解析：可以看出$e^x$和$e^{3x}$是齐次解，而$-xe^{2x}$是特解，根据条件解出$C$即可

解析：先相减算出齐次方程的通解，求出齐次方程后，带入特解，求出其他项

解析：算出$y$后，进行积分即可

解析：写出微分方程，然后根据重根写出通解

解析：

解析：本题隐含了很多条件：光滑曲线$\implies$ 曲线连续且在连接处导数连续

首先将曲线分成两段来算，在$[-\pi,0]$段，列出法线方程，就可以得到一个微分方程并解出

在$[0,\pi]$段，可以直接求解方程，加上光滑曲线这一隐含条件$y(0)$和$y’(0)$都要一致，求出完整方程

注意法线方程的写法，$YX$表示的是变量，而$yx$表示的是曲线上某个点

解析：$tana=\frac{dy}{dx}$，对该式两边求导得出微分方程

注意$\int cot dx=ln|sinx|+C$

求出$f(x)$后带入求$y’’=0$，猜出点即可

解析：

解析：很经典的题，主要是要将变化率设为$-k$，$y’=-k(y-20)$，虽然算式中没有$x$，但是最终的结果和微分方程一样，会有$x$

解析：计算量很大，将$u(x)e^x$带入方程中创造出另外一个微分方程

解析：解微分方程算出$y(x)$，之后轻松算出$V$

解析：把$\frac{1}{x}$和$x$互换写出微分方程，然后解微分方程

解析：

解析：单纯计算量大

解析：常规题

解析：$dx$前面就是$x$的偏微分，$dy$前面是$y$的偏微分，所以(0,0)这个点是极小值，选D

重点是求偏导

解析：当成两个一元函数即可，选D

解析：常规计算

解析：$f_{xx}×f_{yy}$必＜0，而$f_{xy}×f_{yx}$必＞0，故内部无最大最小值，选A

解析：将$x，y$用$u，v$表示

解析：基础题

解析：显然$x$单增，$y$单减，所以选D

解析：除了2，其他都对

解析：写出$f(x,y)$的表达式即可

解析：方程两边求导即可：

解析：先算出$z$，然后分别对$x$和$y$求偏导

解析：常规题

解析：分别求偏导即可

解析：根据$x,y$的偏导推出$f(x,y)$

解析：对$x$求偏导数再代入即可

解析：常规题

解析：先代后求，简化运算

解析：常规题

解析：分别求出$x$和$y$的偏微分即可求出$dz$，而对$x$的偏微分再对$y$求导即可得出答案

解析：将$x$和$y$分别用$\xi$和$\eta$表示，然后简化

结果过于复杂，莫名奇妙

解析：常规题

解析：先确定关于x和y的偏导数为0

解析：可以设$z=x^2+y^2$，用拉格朗日乘数法来计算，同时注意曲线的端点

解析：

解析：根据条件求出$f(x,y)$，再求极值

解析：算出$x，y，z$的关系，将其统一为一个一元方程，算出具体的点

解析：常规题

解析：题目不难，计算量极大，分给圆的长度为$x$，给正方形$y$，给三角形$z$，$x+y=z=2$ 用拉格朗日乘数法求解

解析：题目不难，计算复杂

解析：常规题

解析：

画出积分区域：

选C

解析：根据定积分的定义，选D

解析：根据对称性，实际上就是算图形的面积

解析：画出积分区域，在$y>0，x<0$的情况下能保证最后的结果＞0，选B

解析：甚至不需要画出积分区域即可做出来，选B

解析：从$0^{-}$逼近和从$0^{+}$逼近是不同的

解析：画出积分区域后化简求值

解析：可以用排除法，ABC都是对的，所以选D，也可以用比较法来判断

解析：积分区域一样，比较被积函数，都是偶函数，比较第一象限内函数即可，$x>sinx$，故1>2，而3可能为负数，所以1>2>3

解析：拆分出来求导就是了

解析：画出积分区域后用极坐标代替运算：

解析：交换积分顺序后求解

解析：经典的改变积分次序简化，但是要注意正负号！

解析：改变次序后，再求导

解析：

首先是需要解一个微分方程，其中题目暗含两个条件：$y(x)$过(0,0)和D的面积为2，可以完整的求出$y(x)$，然后按旋转体体积公式进行计算

解析：此题是标准的平移题，只要将$x-1=u,y-1=v$,即可极大程度简化运算

解析：本题是考察极坐标转换为普通坐标，画出积分区域求解

解析：第一问就是求旋转体体积，按对称性计算较简单

第二问需要以截面为微元，即 $\pi x^2dy$，以$(2-y)$为距离进行积分

结果是$\frac{27}{8}\pi pg$

解析：多次应用换元法解出答案

解析：先求出切点，然后选面积和体积

解析：主要是确定$r$和$\theta$的范围，以及$xy$与极坐标的转化

解析：常规计算题

解析：画出积分区域，分成两块计算即可

解析：常规计算，注意形心公式

解析：算形心坐标：

解析：由对称性简化后求解

解析：主要是写出具体的公式，$2\pi\int_1^2dx\int_{-1}^{f(x)}(y+1)dy$

解析：常规题

解析：首先对称性简化，然后用常规方法解题

解析：本题的特殊之处在于，用常规方程和极坐标方程都可以

解析：要分别算出体积和表面积，体积是$V_1-V_2$，而表面积是$S_1+S_2$

对于参数方程来说，直接把公式中的$x，y$替换成参数计算即可

解析：第一问需要二重积分交换次序，第二问需要用单调性

解析：利用定积分的定义化成定积分，再用分部积分法求解

解析：常规题，注意点火公式的应用

解析：和参数方程一样，根本不需要知道$g(x)$的具体表示，在$dx=x’dt$的时候，$g(x)$也换元成了$g(t)$

解析：本质上是算$sin\theta$的高次幂

解析：前几年求$sin\theta$的高次幂，这次求$sec\theta$的高次幂了，实际上可以将$sec^3\theta dx$ 看做$secx dtan\theta$，即$\sqrt{1+tan^2x}dtanx$，$\int\sqrt{1+x^2}dx$可以由分部积分法计算出

解析：注意$\theta$的变化范围要和$\rho$一致，所以并不是题目上的$0\sim\frac{\pi}{2}$，而是让$cos2\theta>0$，所以是$0\sim \frac{\pi}{4}$

解析：首先求出分块矩阵的行列式的值，然后根据$A^A=|A|E$，求出$A^$

选B

解析：首先将$Q^T$和$Q$用$P^T$和$P$和另外一个初等矩阵之积表达出来，然后进行运算

选A

解析：

解析：A的秩为3，那么必有一个特征值为0，然后要符合$\lambda^2+\lambda=O$，$\lambda=-1$符合这个条件，所以选D

解析：实际上是$P_2(AP_1)=E$，所以$A=P_2^{-1}P_1^{-1}$，而$P_2^{-1}=P_2$，所以选D

解析：首先判断出$r(A)=3$，则$r(A^)=1$，所以有三个基础解系，$AA^=O$，故$A$是一组解，而$A$中的$a_1$和$a_3$线性相关，故选D

解析：$a_3+a_4$，可以直接得到$a_1$，所以选C

解析：先写出PQ关系，再带入换算，选B

解析：$B$可逆，相当于$A$经过初等列变化变为了$C$，所以选B

解析：

解析：选一行直接展开即可

解析：直接代入特殊值，$k,l=0$时，可知是必要非充分条件，选A

解析：首先$|A|=0$，其次$r(A)=r(B)$

解析：和$P$对应即可，选A

解析：将选项带入$P^{-1}XP$中，C明显不符合

解析：可以直接算出特征值，也可以取$a=0$看是否符合条件，选C

解析：可以看出特征值就0,1,2,并且对应，所以选B

解析：特征值一样的情况下，看特征值对应的矩阵的秩，明显$AC$相似，和$B$不与$C$相似，选$B$

解析：首先可以看出特征值和行列式的值都一致，所以直接看特征值对应的矩阵的秩是否一致

解析：$(A,B)$的写法意思是：把$AB$矩阵拼在一起，所以对$A$进行初等列变化不会改变分块矩阵的秩，选A

解析：如果$A$的秩为2，那么$A^*$的秩为0

解析：根据方程算出两个特征值，根据行列式算出最后一个特征值，写出规范性

解析：$A_{12}≠0$，说明$A$的秩为3，$A^{*}$的秩为1,而且$A_{12}≠0$还表示第1,3,4列线性不相关，所以选C

解析：$AX=\lambda X$，所以选D

解析：全部算出来，然后看特征值

解析：$r(B)≥r(A)$

解析：全部带进去算

解析：按照可逆矩阵的定义，选B

解析：写出增广矩阵

解析：写出这个两个矩阵，等价说明秩相同

解析：根据秩为1的矩阵性质：

$$l=\beta^{T}\alpha=\alpha^{T}\beta=∑a_{ii}$$

可以快速算出其值为2

解析：原式拆成$|B^{-1}(A^{-1}+B)A|$，可以得到值为$\frac{1}{2}×2×3=3$

解析：求出特征值即可

解析：$|B|=-|A|$,而$|A^*|$的值也好求

解析：最主要的是，$A^{T}=-A^{*}$

解析：负惯性系数为1$\implies$其行列式的值$≤0$

解析：把特征值带入方程即可

解析：秩要相同，算出a的可能取值，再排除一个

解析：$AX=\lambda X$，算出$a$的值

解析：写出矩阵，计算特征值即可

解析：单纯计算题

解析：化简之后计算即可

解析：利用逆序数解题

解析：只要算出$A$矩阵的迹，就可以知道$A^{-1}$的迹

解析：第1问是单纯的基础解系问题，至于第2问，需要列出通式，利用$A\xi_1=0$这个条件化简从而得出结论

只要求出了特征值以后，保证两个特征值>0，剩下一个特征值为0即可求出$a$的值

解析：存在多个解肯定不满秩，所以可以求出$\lambda$和$a$的值

解析：根据$AX=\lambda X$求解出$a$，然后算出其他特征值，求解出基础解系，正交化后写出$Q$

解析：$\beta_1，\beta_2，\beta_3$组成的矩阵的行列式的值肯定为0，可以直接算出$a$

然后按求解方程组的办法表示$\beta_1，\beta_2，\beta_3$，因为$a_1,a_2,a_3$是满秩矩阵，所以化简得到矩阵的列向量即是答案

解析：特征值很好求，特征向量可以根据正交矩阵的特质求出

重点是第二问，需要按相似矩阵的方式，$P^{-1}AP=\Lambda$，这样求出矩阵$A$

解析：有无穷多解的前提是行列式为0，根据$a$的值的可能性，化简矩阵，得到正确答案

解析：$A^T$和$A$的秩是一样的，所以可以求出$A$的值，然后对$AA^T$矩阵求特征值，正交化特征向量即可

解析：先把C矩阵假设出来，再带入列出方程，按照方程组有解的情况算出a，b，再解基础解系即可

解析：

解析：注意给最后一行添0后计算，针对第二个问，假设B为3个列向量，相当于解3个基础解系，可以一起算

解析：求出第1个矩阵的特征值即可，要把每列的值加在第一列，提出来可化简，发现特征值和第2个矩阵一样

解析：$|A|=0$，算出a，然后化简方程就可以求出$X$

解析：根据迹相等和行列式值相等就可以算出来$a，b$的值了，之后算A的对角矩阵属于常规题

解析：无解说明$r(B)>r(A)$，算出A的值

解析：求A的高次幂，需要用相似矩阵求$P^{-1}A^{99}P=\Lambda^{99}$，所以求出$P$和$\Lambda$即可

$B^{100}=BA^{99}$

解析：因为$a_3$能被其他表示出来，所以$r<3$，因为3个不同的特征值，所以$r>1$，是2

第2问相当于在求基础解系,显然$(1,1,1)$是特解，找到通解即可

解析：标准形只有2个系数说明有一个特征值为0，所以矩阵的行列式为0求出$a$，然后就是常规方法求正交矩阵

解析：得用配方法表示括号里面的数，构造一个矩阵，说明矩阵内行列式为0

而第2问是重点，因为拉格朗日配方法是只有用于可逆矩阵中，所以必须$a≠2$时才能用，其表示的规范形就如题所示，本质上就是做了坐标变化，而当$a=2$时就不能用配方法，而是求特征值的方式，来算特征值

解析：$AB$的秩肯定是一样的，所以可算出$a$，然后根据基础解系的方法，$AX=B$，相当于算三个基础解系，组合成一个矩阵，即是$P$

解析：等价也就是秩相等，算出$a$的可能取值，再带入验证，之后就是常规的解基础解系

解析：第1问好求，而求解第2问，需要用等式$P^{-1}AP=Q^{-1}BQ$，则$(PQ^{-1})^{-1}A(PQ^{-1})=B$，最终但是$PQ^{-1}$

解析：$y$和$x$有相同的秩，可以求出$a$

根据$A^TXA=B^TYB$，$(AB^{-1})^{T}XAB^{-1}=Y$

但是因为两个矩阵的特征值不一样，只能用配方法求规范性

解析：第1问易证

解析：仅仅有2个不同的特征值，说明其特征值方程有重根，列出特征值方程，发现有2种情况，分类讨论即可

解析：常规解正交矩阵，而f(x)的最大值和最小值，取决于系数的最大最小值