660总结

极限与连续(重点题)：

4：等价无穷小代换

5：高阶根号下将x抽出来，根号要注意到$(1+x{)}^a-1\sim ax$的无穷小代换

6：泰勒公式

7：同5，高阶根号下的等价无穷小

8：在${\mathrm{\infty }}^0$的类似的形式，一般都是要进行$e^{lnf(x)}$的变换，所以将底数化成$1+g(x)$的形式，指数就是$ln(1+g(x))$，方便等价无穷小的替换

10：$a^x$的形式，优先考虑$a^x-1$的代换，同时也可以用中值定理求解

11：一个冷门极限的知识

12：和10一样，此题用中值定理最为方便

13：此题要用单调有界准则，首先证明是有界的，然后要证明其实单调的，就可以将$x_n$和$x_{n-1}$都转换为$x$

17：没有思路那就泰勒公式，注意要将$x$换为趋向于$0$的情况

18：对于$e^x$或$e^{\frac{1}{x}}$的形式的极限，最好还是通过变换，将让$e^x$趋向于$-\mathrm{\infty }$，从而使之等于0

19：注意分母是$3^n$，所以不能用重要极限，因为要同时趋近于0，所以要用泰勒公式，不如说$(1+\frac{1}{n}{)}^{n^2}=e^{n^{2}ln(1+\frac{1}{n})}$，然后泰勒公式$ln(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$,最后结果是$n-\frac{1}{2}$

25：需要讨论$x$的值，同时要用到18题的技巧

123：极限的存在运算

127：注意泰勒公式

128：放缩常用的不等式：$1+x<e^x$

131：$cosx$的减法，直接变换成加法，就可以消去了

132：非常经典的中值定理的应用

133：和19题可以说是一模一样了

137：有两个$n$在变，所以可以分别确定一个来放缩

427：灵活运用放缩

430：注意提取e出来

434：中值定理的应用

435：利用三角函数的内部周期，加上了$n\pi$，然后让函数内部能用等价无穷小代换

444：如果$sin\pi x$不是0的话，那就没有间断点了，所以间断点只能是让$sin\pi x$为0的点

465：众所周知，$x\to 0ln(x+1)\to x$，而在这道题中是$x\to 1ln(x)\to x-1$

516：注意洛必达使用的条件

一元函数微分学：

27：注意分段点的导数

30：需要从定义入手，很经典

33：将$x^2$抽出来，然后再求导

47：运用了一个结论：即有界函数$f(x)$在$(a,+\mathrm{\infty })$可导，的$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0$

154：讨论了$li{m}_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$和$f^{\prime }(x)$，在连续的情况下：$li{m}_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$才有意义

157：需要应用到中值定理：已知$f(x)=0$：$f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )$，$0<\xi <x$

161：只须考察$f(x)$在$x=x_0$处的连续性及$f(x)$在$x=x_0$两侧$f^{\prime }(x),f^{″}(x)$是否变号，而不须考虑$f^{\prime }(x),f^{″}(x)$是否存在就可判定$x=x_0$是否是$f(x)$的极值点与拐点
$f(x)$在$x=x_0$不可导,$x=x_0$与$(x=f(x_0))$可以同时是$y=f(x)$的极值点与拐点，但对于可导函数，可以证明：若$(x=f(x_0))$是$y=f(x)$的拐点，则$x=x_0$不可能是$f(x)$的极值点.

449：反函数的二阶导

453：将e的指数化成方便计算的形式

459：找驻点

462：首先需要确定的是$f(1)$的值，然后就可以用定义去做了

466：分解因式法

536：注意泰勒公式，将$\frac{1}{2!}{f}^{″}(x)$展开成$f(x)-f^{\prime }(a)(x-a)$是非常经典的展开，有助于判定极值，拐点的性质

538：关于导数的绝对值是否可导的结论

积分：

52：$\int f(x)dx$形式，$f(x)$是一整个根式的话，可以将根式代换成另一个未知数$t$，再进行积分

53：如果$f(x)$的分式的分母是两个多项式相减或相加，考虑将其化为相乘的形式，再将其拆开

54：$f(x)$的分式的分母是一整个根式的话，那就考虑直接进行换元，因为很好化简

55：和53一样，将分母化成了相乘的形式

56：运用了此类积分的一个技巧

57：可以将$x$升阶

58：将定积分设为未知数求解

61：如果积分形式是$sinx$等三角函数，可以自由改变积分上下限，比如$x=\pi -s$之类的

64：难以处理的积分，考虑换元之后再相加

65：分段函数的积分，考虑对每段设置不同的原函数，利用连续性求解C

67：和57题一样的处理

69：遇到$e^x$在分子上，先直接积进去再说，然后分部积分求极限

183：这道选择题很难，其中BC选项用的是61题的方法，而AD用的是另外一种方法，即直接将1化成积分内部的函数形式来比较，这样就可以通过判断积分函数来判断其正负性

185：用183的方法好判断

187：在$[0,\pi ]$区间上，$cosx$是不确定的，应该分为$[0,\pi /2]$和$[\pi /2,\pi ]$上讨论

188：因为根式底部有$x^2$，可以将$x=si{n}^{2}t$,进行代换

189：和上题一样，可以直接用$x=si{n}^{2}t$代换

198：考虑代入法

203：考虑到不同类型的定积分求导

204：连续不一定收敛

467：直接凑微分把分母积分进去了

469：注意将$ln$拆开从而判定奇偶性

471：先是一个换元，然后对两侧积分就可解出

472：一个结论

478：从要求的函数入手，用分部积分法将其转换为$f(x)$和$f^{\prime }(x)$的形式

479：将$f(x)=F^{\prime }(x)$升阶，这样的话，就可以在等式两边积分，从而求出$F(x{)}^2$，$F(x)$和$F^{\prime }(x)$了

480：用$tanx$代换，同时需要考虑到原函数连续的问题

485：将$ln$拆开，然后视作整体，用分部积分法

491：经典题

552：注意到导数的定义

558：关于极值点讨论的经典题

560：依旧是关于一阶导，二阶导和极值点的讨论

566：$f(x)+f^{\prime }(x)$和$e^{x}f(x)$的导数即$e^x(f(x)+f^{\prime }(x))$有相同的零点，然后去讨论其零点分布，思想很重要

568：导函数不一定连续，有可能有震荡间断点

575：注意到重要无穷积分

578：将$f(x)$视作$F^{\prime }(x)$，即可将积分变成函数，即可假设其原函数了

580：直接将$x$的积分视作是$y$的导数了

585：观察到两个函数的构造，$cosx-xsinx$正是$xcos$的导数

587：这种题直接观察结构，$g(a+x)=-g(a-x)$，一看就是关于$a$点对称

591：$cosx$显然是$x$越接近$0$越大，而$sinx$是接近$\frac{\pi }{2}$

595：可以化成587题的形式，所以积分为0

599：复杂

600：无穷积分也有类似的经典题，将无穷积分视作是常数，然后对两端进行积分

微分方程

212：周期积分的性质

213：$b,c$为正，则$r_1，r_2$为负，那都等于0

491：注意到$y/x$的形式

492：微分方程的特解，要带入到方程中求出具体的参数

498：先将积分化为极坐标形式，在两边求导即可得到微分方程

多元函数的微积分学

92：将复合函数也看做一个整体的函数以简化运算

94：有绝对值的函数注意要分段求

97：因为符合标准的定义，所以可以全微分

98：和97不同的是等式右边的值是1，但是$x^2+y^2$是$\sqrt{x^2+y^2}$的高阶无穷小，所以最后仍然也可以看做是全微分的标准式咯

109：极坐标下的交换次序

111：遇到不好积分的函数，交换次序打开思路

113：经典的关于$y=x$对称图像

114：可以平移图形，让圆心处于原点

118：很经典，在一元函数的积分中也出现过，将等式右边的积分看做一个确定的值就行

231：判定重极限是否存在，使用放缩，或者假设一个参数以某种方式逼近，比如$y=kx$

235：和98类似，但是分母和$\sqrt{x^2+y^2}$是同阶的，那么就不符合可微的定义了，然后根据定义求偏导数是否连续

245：可以将不好求导的函数设为$g(x)$

249：要按隐函数求导的法则求出$y^{″}$

256：分成一个关于$x$对称的区域，和一个关于$y$对称的区域

260：交换次序方便求导

261：和114一样，平移之后再根据对称性做题

268：注意到$arctan\frac{y}{x}=\theta$

269：难点是求$\frac{1}{co{s}^3\theta }d\theta$的积分

270：都是一个形式的被积函数，就比较被积函数在区域中是否大于1

273：积分中值定理

274：和118一样

275：利用分部积分法