函数，极限，连续

函数

概念

如果对于每个数$x\in D$，变量$y$按照一定的法则总有一个确定的$y$和它对应，则称$x$是$y$的函数，记作$y=f(x)$

称$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域

定义域：$D_f=D$

值域：$R_f=f(D)=\left\{y|y=f(x),x\in D\right\}$

两个基本要素：定义域，对应法则

常见函数

符号函数：

$\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ccc}-1 & : & x<0 \\ 0 & : & x=0 \\ 1 & : & x>0\end{array}\right.$

取整函数：

设$x$为任意实数，不超过$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$[x]$,函数$y=[x]$称为取整函数

复合函数

假如有两个函数$f:X\to Y$以及$g: Y\to Z$，那么可以得到$X$到$Z$的函数，记作：

$g\circ f:X\to Z\quad 或\quad (g\circ f)(x)=g\Big(f(x)\Big)$

这种运算称为函数的复合

复合运算的前提是$X$的值域要和$Y$的定义域的交集非空

反函数

设$y=f(x)$的定义域为$D$，值域为$R_y$，若对任意$y\in R_y$，有唯一确定的$x\in D$使得$y=f(x)$，则记为$x=f^{-1}(y)$，称其为函数$y=f(x)$的反函数

很容易联想到线性代数中的“可逆”概念，只有满足满射的情况下，矩阵才可逆，换句话说，才能有反函数

所以不是每个函数都有反函数，但单调函数一定有反函数
$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图形关于$y=x$对称

$f^{-1}[f(x)]=x$，同样$f[f^{-1}(x)]=x$，本质上是将$x$映射到了$y$，然后$y$又映射回了$x$

三角函数

名称	算式	图像
正弦函数 $sinx$	$sinx=\frac{a}{c}$
余弦函数 $cosx$	$cosx=\frac{b}{c}$
正切函数 $tanx$	$tanx=\frac{a}{b}$
余切函数 $cotx$	$cotx=\frac{b}{a}$
正割函数 $secx$	$secx=\frac{c}{b}$
余割函数 $cscx$	$cscx=\frac{c}{a}$

如图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

对角相乘乘积为1，即$sinθ·cscθ=1$； $cosθ·secθ=1$； $tanθ·cotθ=1$
六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：$sinθ=cosθ·tanθ$；$tanθ=sinθ·secθ$
阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：$sin^2 x+cos^2 x=1$

降幂公式：

$sin²α=\frac{[1-cos(2α)]}{2}$ $cos²α=\frac{[1+cos(2α)]}{2}$ $tan²α=\frac{[1-cos(2α)]}{[1+cos(2α)]}$

和差化积公式：

$sina+sin\beta=2sin\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$ $cosa+cos\beta=2cos\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$ $sina-sin\beta=2cos\frac{a+\beta}{2}sin\frac{a-\beta}{2}$ $cosa-cos\beta=-2sin\frac{a+\beta}{2}sin\frac{a-\beta}{2}$

证明过程

证明第一个公式：$sina+sin\beta=2sin\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$

$sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$

$sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB$

$sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB$

$A+B=a \qquad A-B=\beta \qquad sina+sin\beta=2sin\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$

$tan(A+B)=\frac{(tanA+tanB)}{(1-tanA×tanB)}$

$tan(A-B)=\frac{(tanA-tanB)}{(1+tanA×tanB)}$

反三角函数

三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦$arcsin x$，反余弦$arccos x$，反正切$arctan x$，反余切$arccot x$，反正割$arcsec x$，反余割$arccsc x$这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切，正割，余割为$x$的角

名称	定义域	值域
$arcsinx$	[-1,1]	$[-\pi/2，\pi/2]$
$arccosx$	[-1,1]	[$0,\pi$]
$arctanx$	$(-\infty，+\infty)$	$(-\pi/2,\pi/2)$

运算：

类似

$tan(x-y)=\frac{tanx-tany}{1+tanx·tany}$ $arctanx-arctany=arctan\frac{x-y}{1+xy}$

特别的，$arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$

初等运算

将幂函数，指数，对数，三角，反三角统称为基础初等函数

幂函数：$y=x^{\alpha}(\alpha 为实数)$

指数函数：$y=\alpha^{x}(a>0,a≠1)$

对数函数：$y=log_{\alpha}x(a>0,a≠1)$

三角函数：$y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx$

反三角函数：$y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx$

初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次加减乘除和复合所得到的且能用一个解析式表示的函数

性质

单调性

如果对于区间$I$上任一两点$x_1<x_2$恒有：

$f(x_1)<f(x_2)$ 则是单调增加

$f(x_1)>f(x_2)$ 则是单调减少

如果$f’(x_0)>0$，只能说明在$x_0$的去心领域中，右领域上的点都能使$f(x)>f(0)$成立，但是无法判断$f(x)$的右邻域内任意两点的大小，因为可导不能推出$f’(x_0)$连续，无法判定周围点的情况

可以依次类推出$f’’(x)>0$，也无法推出其邻域内是凹函数，因为$f’’(x)$不一定连续

如果$f’(x_0)$连续的话，就可以推出在$f’(x_0)$的邻域内的点都符合$x_0$处的单调性

综上，$f’(x)＞0\Longrightarrow f(x)$ 单调增，但单调增只能推出，$f’(x_0)≥0$

应用：

判断根的个数时，利用单调性
不等式：如果将不等式的项移动到同一边组成一个新的函数，判断该不等式的单调性，结合端点值，可让某些结论成立

奇偶性

设$y=f(x)$的定义域$D$关于原点对称，$\forall x\in D$

$f(-x)=f(x)$ 称为偶函数

$f(-x)=-f(x)$ 称为奇函数

常见的奇函数有：$sinx，tanx，arcsinx，arctanx，ln\frac{1-x}{1+x}，ln(x+\sqrt{1+x^2})，\frac{e^x-1}{e^x+1}，f(x)-f(-x)$

常见的偶函数有：

$x^2，|x|，f(x)+f(-x)$

奇函数的图形关于原点对称，所以若$f(x)$在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$

设下面所考虑的函数都是定义在区间$(-l,l)$上的

偶+偶=偶，奇+奇=奇
偶×偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇

如果$f(x)$可导，则：

$f(x)$是奇函数$\implies f’(x)$是偶函数但是反之则不成立，因为$f’(x)$是偶函数，那么$原函数=f(x)+C$，$f(x)$是奇函数，但是$C$是常数

$f(x)$是偶函数$\implies f’(x$)是奇函数，反之也成立，因为原函数=$f(x)+C$，$f(x)$是偶函数，$C$也是偶函数，所以反之成立

以上结论可以在泰勒公式中体现

在$x=0$点的泰勒展开式为：$f(x)=f(0)+f’(x)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+o(x)$，根据性质，假设$f(x)$是奇函数，那么$f’’(x)=0$，假设$f(x)$是偶函数，那么$f’(x)=0$，然后可以根据$f(x)$在$0$点附近值直接判断其导数or二阶导的正负

连续的奇函数的原函数是偶函数，连续的偶函数的原函数之一是奇函数

任意一个函数都可以被分成奇函数+偶函数

周期性

若存在实数$T>0$，对于任意$x$，恒有$f(x+T)=f(x)$，则称$y=f(x)$为周期函数，使得上式成立的最小正数$T$称为函数$f(x)$的周期

若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期

函数的积分性质：

$\int^{x+T}_xP(t)dt=\int^T_0P(t)dt$ $\int^x_0P(t)dt(T为周期)\implies\int^T_0P(t)dt=0$

针对第二条，易得$x=0$时，积分的值为$0$，所以$x=T$时，积分的值也为$0$

周期函数的导数仍然是周期函数，且周期一致

但是周期函数的原函数并不一定是周期函数

有界性

若存在$M>0$，使得对任意$x\in X$，恒有$|f(x)|≤M$，则称$f(x)$在$X$为有界函数

如果对任意$M>0$，至少存在一个$x_0\in X$，使得$|f(x)|＞M$，则$f(x)$为$X$上的无界函数

$|arcsinx|≤\frac{π}{2}，|arctanx|<\frac{π}{2}，|arctanx|<π$

判定条件：

定义
$f(x)$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上有界
$f(x)$在$(a,b)$上连续，且$f(a^+),f(b^-)$存在，则在$(a,b)$上有界
$f’(x)$在区间有限区间上有界，则$f(x)$在有限区间上有界

第4点的证明：泰勒公式：$f(x)=f(x)-f(x_0)+f(x)=f’(\xi)(x-x_0)+f(x_0)$

$\xi$是在$(x,x_0)$区间内的一点，$f’(\xi)$有界，同样$(x-x_0)$也是一个有界值，而$f(x_0)$也是一个有界值，所以最终$|f(x)|$会小于等于某个值

极限

数列极限

定义：设$\{x_n\}$为一数列。如果存在实数$a$，对于任意给定的正实数$\epsilon$（不论它多么小），总存在正整数$N$，使得对所有的$n > N$时，有：

$|x_n-a| < \epsilon,\quad a\in\mathbb{R}$

那么就称$a$是数列$\{x_n\}$的极限，或者称数列$\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记作：

$\lim_{n\to\infty}x_n=a\quad或\quad x_n\to a(n\to \infty)$

如果不存在这样的常数$a$，就说数列$\{x_n\}$没有极限，或者说数列$\{x_n\}$是发散的，习惯上也说$\lim_{n\to\infty}x_n$不存在。

$\epsilon$的作用是表示说明$|x_n-a|$会无限接近于0，$N$的作用是说明在$N$之后有无穷项都会让$|x_n-a| < \epsilon,\quad a\in\mathbb{R}$ 等式成立
几何意义是：$a-\epsilon<x_n<a+\epsilon$，说明在$x$的$\epsilon$邻域中有无穷多项
数列${x_n}$的极限与前有限项无关
$\lim_{n\to\infty}x_n=a \iff \lim_{n\to\infty}x_{2k}=\lim_{n\to\infty}x_{2k-1}=a$

若$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，则$\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|$，但反之不成立

证明过程

证明如下：

条件是：$\forall\epsilon>0,∃N$，当$n>N$，有$|x_n-a| < \epsilon$

要证明的结论是：$\forall \epsilon>0,∃ N$，当$n>N$，有$||x_n|-|a|| < \epsilon$

根据不等式的性质：$||a|-|b||<|a-b|$，所以$||x_n|-|a||<|x_n-a| < \epsilon$

故证明完成
$\lim_{n\to\infty}x_n=0$的充分必要条件是$\lim_{n\to\infty}|x_n|=0$

仿照上式的证明过程：$||x_n|-0| < \epsilon \iff |x_n| < \epsilon$

该结论在夹逼原理时用的很多

函数极限

趋于无穷时的函数极限

$\forall \epsilon >0，∃ X>0，$当$|x|>X$时,恒有$|f(x)-A|<\epsilon$

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 数列极限 \quad\quad&\quad x\to\infty\ 的函数极限\quad \\ \hline \\ 数列\ \{x_n\} &\quad 函数\ f(x)\ 当\ |x|\ 大于某正数时有定义\quad\\ \exists N\in\mathbb{Z}^{+} & \exists X > 0\\ \forall n > N & \forall |x| > X\\ \\ \hline \end{array}$

定理1：

$\lim_{n\to\infty}f(x)=A \iff \lim_{n\to-\infty}f(x)=\lim_{n\to+\infty}f(x)=A$

邻域

定义：以$x_0$为中心、半径为$\delta（\delta > 0）$的开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$称为点$x_0$的邻域，记作$U(x_0,\delta)$。

去心邻域

定义：在邻域$U(x_0,\delta)$中去掉中心$x_0$后，称为点$x_0$的去心邻域，记作$\mathring{U}(x_0,\delta)$

趋于有限值时函数的极限

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$

定义：$\forall \epsilon >0，\exists \delta>0，$当$0<|x-x_0|<\delta$时,恒有$|f(x)-A|<\epsilon$

$\epsilon $的作用是说明$f(x)$会无限接近$A$
$\delta$的作用是$x_0$的去心邻域足够小，即$x_0$会无线接近$x$
$x\to x_0$，但是是去心邻域，$x≠x_0$

极限就是研究的是$x_0$在其去心邻域的变化情况，如果$x=x_0$，则就没有研究的意义了

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 数列的极限\quad&\quad 无穷函数的极限\quad&\quad 一般函数的极限\quad \\ \hline \\ 数列\ \{x_n\} &\quad f(x)\ 当\ |x|\ 大于某正数时有定义\quad&\quad f(x)\ 在\ \mathring{U}(x_0)\ 上有定义\quad\\\ \exists N\in\mathbb{Z}^{+} & \exists X > 0 & \exists \delta > 0\\ \forall n > N & \forall |x| > X & \forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\\ \\ \hline \end{array}$

左极限

定义 .设函数$f(x)$在$(a,x_0)$上有定义，其中$a < x_0$。如果$\forall\epsilon > 0，\exists \delta > 0，\forall x\in(x_0-\delta, x_0)$，有：

$|f(x) - A| < \epsilon$

那么就称$A$是函数$f(x)$当$x\to x_0^-$时的左极限，或者称当$x\to x_0^-$时函数$f(x)$ 收敛于 $A$，记作：

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A\quad 或\quad f(x)\to A(x\to x_0^-)$

同理，右极限也可被定义为：

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A\quad 或\quad f(x)\to A(x\to x_0^+)$

存在的充要条件：

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$

常用到左右极限的情况：

分段函数在分界点的极限
$e^{\infty}$型极限(如$\lim_{x\to\infty}e^{x}$ ，此类极限的左右无穷趋近的值不一样,$\lim_{x\to+\infty}e^{x}=\infty$$\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$)
$arctan\infty$型极限($x \to +\infty$时,趋向于$π/2$，$x \to -\infty$时,趋向于 $-π/2$)

性质

有界性

（数列）如果数列${x_n}$收敛，那么数列${x_n}$一定有界

（函数）如果$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$某去心邻域有界

保号性

(数列)

$\lim_{n\to\infty}x_n=A$

如果$A > 0$（或$A < 0$），那么存在正整数$N>0$，当$n>N$时，有$x_n > 0$（或$x_n < 0$）。

推论：如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\ge 0$（或$x_n \le 0$），那么$A \ge 0$（或$A \le 0$）。

（函数）

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$

如果$A > 0$（或$A < 0$），那么存在$\delta>0$时，有$x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)>0$(或$f(x)<0$)

推论：如果$\delta>0$，当$x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)≥0$(或$f(x)≤0$)，那么$A≥0$(或$A≤0$)

存在准则

夹逼定理

如果：

（1）在相应的局部有$g(x)\leq f(x) \leq h(x)$

（2）$\lim g(x)=\lim h(x)=L$

那么$\lim f(x)=L$

单调有界准则

单调有界数列必有极限：

单调增，有上界的数列必有极限

单调减，有下界的数列必有极限

无穷小量

定义：对于函数$f(x)$，如果满足$\lim f(x)=0$ 则称函数$f(x)$为此自变量变化过程（指$x\to x_0，x\to\infty$等）的无穷小

极限与无穷小的关系：

定理 .极限$\lim f(x)=L$存在的充要条件为：

$f(x)=L+\alpha\iff \lim f(x)=L$

其中$\alpha$为自变量的同一变化过程的无穷小，即有$\lim\alpha=0$

无穷小量的比较：

已知$\alpha$和$\beta$是同一自变量的变化过程中的无穷小，且在相应的局部有$\alpha\ne 0$，如果：

（1） $\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta$是比$\alpha$ 高阶的无穷小，记作$\beta=o(\alpha)$；

（2） $\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty$，则称$\beta$是比$\alpha$ 低阶的无穷小

（3） $\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\ne 0$，则称$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小

（4） $\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\ne 0,k > 0$，则称$\beta$是关于$\alpha$的 $k$ 阶的无穷小

（5） $\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$，则称$\beta$与$\alpha$是等价无穷小，$\alpha\sim\beta$

性质：

有限个无穷小量的和仍然是无穷小量
有限个无穷小量的积仍然是无穷小量
无穷小量与有界量的积仍然是无穷小

常见的等价无穷小量：

定理 .当$x\to 0$时有：

（1）$\sin x\sim x$ （2）$\tan x\sim x$ （3）$\arcsin x\sim x$ （4）$\arctan x\sim x$

（5）$\ln(1+x)\sim x$ （6）$e^x-1\sim x$ （7）$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$

（8）$1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$

无穷大量

定义：设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义。如果$\forall M > 0，\exists \delta > 0，\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$，有：

$|f(x)| > M$

那么就称函数$f(x)$是$x\to x_0$时的无穷大。可记作：

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$

无穷小量的比较：

当$n\to\infty$时：

$ln^{\alpha} n<< n^\beta <<a^n<<n!<<n^n \quad \alpha>0,\beta>0,a>1$

性质：

两个无穷大量的积仍为无穷大量
无穷大量与有界变量的和为无穷大

无穷大量和无界变量的关系：

无界变量：$\forall M>0, \exists N>0 $，使得$|x_N|>M$

显然无穷大量一定是无界变量，但是无界变量不一定是无穷大量，因为只要任意一个$|x_N|>M$，就可以是无界变量，而无穷大量必须是一个序列

无穷大量和无穷小量的关系：

定理在自变量的同一变化过程中：

若$f(x)$为无穷小，且在相应的局部有$f(x)\ne 0$，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大。该结论也记作$\frac{1}{0}=\infty$

若$f(x)$为无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷小。该结论也记作$\frac{1}{\infty}=0$

$\lim_{n \to +\infty}x_ny_n=\infty$并不能推出$x_n$或$y_n$是无穷大量，有可能是两个错开的无界变量相乘

求极限（8种方法)

1.基本极限

$\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$ $\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$ $\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$ $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=lna$ $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$ $\lim_{n\to \infty}(a_1^n+a_2^n+\cdot\cdot\cdot+a_m^n)^\frac{1}{n}=a_1\qquad a_1=max(a_1,a_2,a_3....a_m)$ $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1，(a>0)$ $\lim_{x\to 0^{+}}x^aln^\beta x=0\qquad\alpha>0,\beta>0$ $lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}…+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+…+b_{1}x+b_{0}}}=\left\{ \begin{aligned} \frac{a^{n}}{b^{m}}& , & n=m\ \\ 0& , & n<m\ \\ \infty& , & n>m\ \end{aligned} \right.$

针对最后一个公式，可以得出结论：在$x\to \infty$时，应对分式上下都是多项式和的情况下，只需要看分子和分母的最高次项即可。

而在$x\to 0$的情况下，只需要看分子分母的最低次项即可

在判断敛散性的时候，在性质很有用

此结论可作为泰勒展开以及等价无穷小代换时的依据

$1^{\infty}$型极限的常用结论

若 $\lim{\alpha\left( x \right)}=0，\lim{\beta\left( x \right)}=\infty$，且 $\lim{\alpha\left( x \right)}{\beta\left( x \right)}=A$,则

$\lim{\left[ 1+\alpha\left( x \right) \right]^{\beta\left( x \right)}}=e^{A}$

可以归纳为以下三步：

（1）写标准形式：原式$= \lim{\left[ 1+\alpha\left( x \right) \right]^{\beta\left( x \right)}}$

（2）写极限： $\lim{\alpha\left( x \right)}{\beta\left( x \right)}=A$

（3）写结果：原式$=e^{A}$.

2.等价无穷小代换

常见的等价无穷小：

$x\sim sinx\sim tanx \sim arctanx \sim arcsinx\sim ln\left( x+1 \right)\sim e^{x}-1$ $\left( 1+x \right)^{\alpha}-1\sim ax，1-(cosx)^{\alpha}\sim \frac{\alpha}{2}x^{2}$ $x-ln\left( 1+x \right)\sim \frac{1}{2}x^{2},a^{x}-1\sim xlna$ $x-sinx\sim \frac{1}{6}x^{3}，tanx-x\sim \frac{1}{3}x^{3}，arcsinx-x\sim \frac{1}{6}x^{3}，x-arctanx\sim\frac{1}{3}x^{3}$

实际上，很多等价无穷小可以看做是泰勒公式的一阶展开式

比如：

$(1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots\left( m-n+1 \right)}{n!} x^{n}+o\left(x^{2}\right)\\\left( 1+x \right)^{\alpha}-1\sim ax$ $ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right)\\x-ln\left( 1+x \right)\sim \frac{1}{2}x^{2}$ $sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ x-sinx=\frac{1}{6}x^{3}$

关于$\left( 1+x \right)^{\alpha}-1\sim ax$这一等价代换，实际上，可以写成

$\left( 1+\alpha(x) \right)^{\beta(x)}-1\sim \alpha(x)\beta(x)$

只要满足条件$\alpha(x) \to 0$，$\alpha(x)\beta(x) \to0$

显然，这个结论建立在$1^{\infty}$型极限的解法，以及$e^x-1 \sim x$的等价无穷小代换之上

等价无穷小实际有推广结论：

比如$ln\left( x+1 \right)\sim x$，实际上推广到$ln\left( f(x)+1 \right)\sim x$，只要满足$f(x)\to0$即可，可应用于多个等价无穷小上

设$f(x)$和$g(x)$在$x=0$的某领域内连续，且$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$,，则

$\int^x_0f(t)dt\sim\int^x_0g(t)dt$

等价无穷小的替换：

乘除关系可以换：

设$\alpha\sim \alpha_1，\beta\sim \beta_1$，且$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$存在，则$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha}{\beta}=\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$

加减关系在一定条件下可以换：

设$\alpha\sim \alpha_1，\beta\sim \beta_1$，且$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A≠1$存在，则$\alpha-\beta\sim \alpha_1-\beta_1$

设$\alpha\sim \alpha_1，\beta\sim \beta_1$，且$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A≠-1$存在，则$\alpha+\beta\sim \alpha_1+\beta_1$

并且这个结论甚至能推导到复合函数上：

若$f(x)$和$g(x)$为正的同阶无穷大(小)，则$ln(f(x))\sim ln(g(x))$，$(x\to a)$

证明如下

$\lim_{x\to a}\frac{ln(f(x))}{ln(g(x))}=\lim_{x\to a}\frac{ln(f(x))-g(x)+g(x)}{ln(g(x))}=\lim_{x\to a}\frac{ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{ln(g(x))}+1=1$

在求三角函数的极限的时候，可以利用三角函数的周期性进行构造

如：

$\lim_{n\to \infty}ntan(\pi\sqrt{n^2+1})=ntan(\pi\sqrt{n^2+1}-n\pi)=ntan(n\pi\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}-n\pi)=\\ntan(n\pi\frac{\frac{1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})=\lim_{n\to\infty}n·\frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}$

3.有理运算法则

若 $\lim f\left( x \right)=A，\lim g\left( x \right)=B$. 那么：

$\lim \left [ f\left ( x \right ) \pm g\left ( x \right ) \right ] =\lim f\ \left ( x \right )\pm g\left ( x \right )$ $\lim \left [ f\left ( x \right ) \ \cdot g\left ( x \right ) \right ]=\lim f\left ( x \right )\cdot \lim g\left ( x \right )$ $\lim \left [ \frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) } \right ]=\lim \frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) } \left ( B\ne 0 \right )$

$\lim_{x\to a}f(x)=A\qquad lim_{x\to a}g(x)$不存在

$\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=$不存在

即

存在$\pm$不存在=不存在

不存在$\pm$不存在=不一定

若$A=0$，则$f(x)·g(x)$的极限可能存在，若$A≠0$,则$f(x)·g(x)$的极限不存在

常用的结论：

$\left( 1 \right)\lim f\left ( x \right )=A\ne 0\Rightarrow limf\left ( x \right )g\left ( x \right ) =A\lim g\left ( x \right )；$

即：极限非零的因子的极限可先求出来.

$\left ( 2 \right ) \lim \frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) } 存在，limg\left ( x \right )=0\Rightarrow limf\left ( x \right )=0$ $\left( 3 \right) \lim \frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) } =A\ne 0,limf(x)=0\Rightarrow limg(x)=0.$

4.洛必达法则

若

$\left( 1 \right)\lim_{x \to x_{0} }f(x)= \lim_{x \to x_{0} }g(x)=0\left ( \infty \right )$
$\left ( 2 \right ) f\left ( x \right )和g\left ( x \right )$在$x_{0}$ 某去心邻域内可导，且$g{}’\left( x \right )\ne 0$
$\left ( 3 \right ) \lim_{x \to x_{0} } \frac{f{}’ \left ( x \right ){} }{g{}’ \left ( x \right ) }$ 存在$\left ( 或 \infty \right )$

则

$\lim_{x \to x_{0} } \frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) } = \lim_{x \to x_{0} } \frac{f{}' \left ( x \right ){} }{g{}' \left ( x \right ) }$

应用范围：

$\begin{array}{c|c|c} \hline \quad 类型\quad&\quad 条件\quad&\quad 转为\frac{0}{0}\quad\\ \hline \\ \quad\frac{\infty}{\infty}\quad&\lim f(x)=\infty,\lim g(x)=\infty\quad&\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{1/g(x)}{1/f(x)}\\ \quad 0\cdot\infty\quad&\lim f(x)=0,\lim g(x)=\infty\quad&\lim f(x)g(x)=\lim\frac{f(x)}{1/g(x)}\\ \quad\infty-\infty\quad&\lim f(x)=\infty,\lim g(x)=\infty\quad&\lim[f(x)-g(x)]=\lim\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/[f(x)g(x)]}\\ \quad 0^0\ 或\ \infty^0\quad&\lim f(x)=0\ 或\ \infty,\lim g(x)=0\quad&\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}}\\ \quad 1^\infty \quad&\lim f(x)=1,\lim g(x)=\infty\quad&\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}}\\ \\ \hline \end{array}$

应该注意的问题：

使用洛必达法则应该注意的几个问题

① 使用洛必达法则前，应检验条件是否满足；

② 使用洛必达法则之后，如果问题仍是未知定型极限，且仍符合洛必达法则条件，可以再次使用洛必达法则；

③ 如果“$\frac{\infty }{\infty }$ ”型或“$\frac{0}{0}$ ”型极限中的函数含有极限非零的因子，可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以简化运算；

④如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合洛必达法则使用，也可以简化运算.

如果$f(x)$在$n$阶可导，那么洛必达法则可用到$n-1$阶

如果$f(x)$在$n$阶连续可导，那么洛必达法则可用到$n$阶

因为$n$阶可导不能推出$n$阶导函数连续

求解等价无穷大的时候要考虑分子分母同时除以各项中最高阶的无穷大，可以简化运算

针对“$\infty—\infty$”型极限，常用的办法有3种：

通分化为$\frac{0}{0}$（适用于分式差）
根式有理化(适用于根式差）
提无穷因子，然后等价代换或变量代换，泰勒公式等

5.泰勒公式

带有皮亚诺型余项的泰勒公式：若 $f\left( x \right)$ 在含有 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a，b)$ 具有 $n$ 阶导数

则当属于$(a，b)$时，

$\begin{aligned} f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n} +o\left(\left|x-x_{0}\right|^{n}\right) \end{aligned}$

特别地，当 $x_{0}=0$时，

$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} f^{(n)}(0) x^{n}+o\left(x^{n}\right)$

常见函数的展开式

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{2}\right)$ $sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right)$ $cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n}\right)$ $ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right)$ $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right)$ $(1+x)^{m}={\color{red}1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots\left( m-n+1 \right)}{n!} x^{n}+o\left(x^{2}\right)$

6.夹逼原理

(1)若 $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a，则 \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a .$

(2)若 $f(x) \leq \varphi(x) \leq g(x)，x \in U\left(x_{0}, \delta\right)-\left\{x_{0}\right\}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=A，$

则: $\quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x)=A$

夹逼原理是求解数列极限的一个常用定理

在求$n$项相加的时候，常用的方法有：

夹逼原理
定积分定义

而在求$n$项连乘的时候，常用的方法有：

夹逼定理
取对数化为$n$项相加

某些$n$项连乘可以主动化简

比如$(1+x)(1+x^n)···(1+x^{2^n})$形式，如果乘以$\frac{1-x}{1-x}$，分子即可用完全平方式一路化简得出答案

又比如$cos\frac{x}{2}cos\frac{x}{4}···cos\frac{x}{2^n}$形式，如果乘以$\frac{2^nsin\frac{x}{2^n}}{2^nsin\frac{x}{2^n}}$,分子即可用$sin2x=2cosxsinx$一路化简得出答案

7.单调有界准则

$\left\{\begin{array}{l} 单调性\Leftarrow 1.求导，2.作差，3.作商\\ 有界性\Leftarrow1.放缩，2.借助不等式 \end{array}\right.\Leftarrow数学归纳法$

一般应用在递推关系 $x_1=a，x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,…)$定义的数列

常用方法：

先证${x_n}$收敛（单调有界准则），然后等式$x_{n+1}=f(x_n)$两端取极限得$A=f(A)$，由此得极限$A$
先令$\lim_{x \to \infty}=A$，然后等式$x_{n+1}=f(x_n)$，两端取极限解得$A$，最后再证明$\lim_{x \to \infty}=A$

前提都需要用到单调性的判定

有三种方法：

通过$x_{n+1}-x_{n}≥0$来判断
若$x_{n}$不变号，且$\frac{x_{n+1}}{x_n}≥1$
若数列由$x_1=a$，$x_{n+1}=f(x_n)$确定
- 若$f(x)$单调增，则当$x_1≤x_2$时，$x_n$单调增，$x_1≥x_2$时，$x_n$单调减
- 若$f(x)$单调减，则$x_n$不单调

对于3性质的证明，需要分类讨论：

如果是$x_1≤x_2$，那么$x_1≤f(x_1)=x_2≤f(x_2)=x_3$，说明$x_n$是单调增加的

如果是$x_1≥x_2$，那么$x_1≥f(x_1)=x_2≥f(x_2)=x_3$，说明$x_n$是单调减少的

如果证明出$x_n$单调增加，可以先求出极限，然后通过数学归纳法说明$x_n$有上界

如果证明出$x_n$单调减少，则$x_1$的值就是极限，或者通过保号性判断$x_1$

实际上，还可以利用逐差的思想来解数列证明题，假设$y_n=x_{n+1}-x_n，x_1=a$，那么

$x_n=x_1+(x_2-x_1)+(x_3-x_2+)···(x_n-x_{n-1})=x_1+y_1+y_2+···y_{n-1}$

在$y_n$符合等差数列or等比数列的前提下，可直接求解出$x_n$

证明常用的不等式：

$2ab≤a^2+b^2$

$sinx<x<tanx\qquad (0<x<\frac{\pi}{2})$

$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$

$1+x≤e^x$

8.定积分定义

基本公式:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) d x$

公式的由来: 定积分的定义 $\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i},$

[注] 这里区间是任意的区间.

$\xi_{i}$取自$x_{i}$和$x_{i-1}$之间.现在我们放低要求，把整个区间均等分为$\mathrm{n}$个区间，

区间范围规定是 $[0,1]$， $\xi_{i}$取自$x_{i}$处，那么和式极限就可以表示为

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) d x$

实际上，在具体的化简过程中，存在有很多技巧，比如可以把同阶的有关$n$的分式提出表达式，还比如在极限中，使用等价无穷小代换等

也可以遇到不好算的积分，先通过放缩简化多项式，然后再用定义将其化为积分形式

9.拉格朗日中值定理

$f'(\xi)({b-a})={f(b)-f(a)}$

当遇到复合函数求导时，如果b和a之间是等价的，且易确定其中间的值，可用中值定理简化，比如

$\lim_{x\to \infty}x^2(arctan\frac{2}{x}-arctan\frac{2}{x+1})$

$\frac{2}{x}$和$\frac{2}{x+1}$在$x\to \infty$是等价的，所以可以用拉格朗日中值定理

$\begin{align} \lim_{x\to \infty}x^2(arctan\frac{2}{x}-arctan\frac{2}{x+1})\implies\\\lim_{x\to \infty}x^2\frac{1}{1+\xi^2}(\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1})(\xi\to0)\implies\\ 2\lim_{x\to \infty}x^2\frac{1}{x(x+1)}=2 \end{align}$

不仅仅是$arctanf(x)-arctang(x)$形式可以用，$cosf(x)-cosg(x)$，$a^{f(x)}-a^{g(x)}$形式的都可以考虑用

实际上，在遇到可以把$e^{f(x)}$，$\sqrt{f(x)}$等因子抽出来作为常数以简化运算的时候，常可以利用中值定理解题

积分中值定理：

如果函数$f(x)$在积分区间$[a,b]$连续，那么在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使下式成立：

$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi\in[a,b]$

可用于简化积分内复杂函数

函数的连续性

概念

定义1：设函数$y=f(x)$在$x_0$点的某一邻域内有定义，令：

$\Delta x=x-x_0,\quad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

如果：

$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}\left[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\right]=0$

那么就称函数$f(x)$在$x_0$点连续。

定义2：$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续

定义3：$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处左连续

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处右连续

定理：$f(x)$连续$\iff f(x)$左连续且右连续

如果f(x)是分段函数，且f(x)是“光滑”曲线，那么，f(x)不仅在分段点的左右极限相同，而且在分段点的左右导数也相同

注意：如果$f(x)$在$x_0$处连续，不一定存在$\delta>0$，在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内连续

实际上：连续和可导都是函数在一点的性质

间断点及其分类

定义

若$f(x)$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点

分类

第一类间断点：左，右极限都存在的点

可去间断点：左极限=有极限
跳跃间断点：左极限≠有极限

第二类间断点：左，右极限中至少有一个不存在

无穷间断点：在$x_0$附近，某侧函数值趋向于无穷
震荡间断点：在$x_0$附近，某侧函数值一直变化

连续性的运算和性质

定理1：设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$点连续，则它们的和（差）$f\pm g$、积$f\cdot g$以及商$\frac{f}{g}（g(x_0)\ne 0）$都在$x_0$点连续

但是无法判断不连续函数之间运算的结果，不连续函数相加，相乘的结果都有可能连续

定理2：连续函数的复合仍为连续函数

定理3：基本初等函数在其定义域是连续的

定理4：初等函数在其定义区间内是连续的

闭区间上连续函数的性质

定理5(有界性定理)：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

定理6(最值定理)：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值

定理7(介值定理)：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在此区间的端点取不同的函数值：

$f(a)=A,\quad f(b)=B,\quad A\ne B$

则对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得：

$f(\xi)=C,\quad \xi\in(a, b)$

推论: 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于它在$[a,b]$上最小值与最小值之间的一切值

比如$f(a)=A$，$f(b)=B$，那么存在$f(\theta)=\frac{A+B}{2}$

定理8（零点定理）：设函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)\cdot f(b) < 0$），则在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得$f(\xi)=0$