行列式的计算：

279：注意范德蒙特行列式

286：注意秩为1的行列式的高次幂求法

287：很经典的题，分块矩阵，然后不同的块用到了不同的性质

299：等价就是秩相同的意思

301：线性相关，即不满秩

306：有多个解，那么就是rank(系数矩阵)=rank(增广矩阵)<n

307：不能线性表示，说明加上了$B$向量后，维度升高了

309：$\gamma$向量代表的是任意一个三维空间向量，而向量组不能表示出来说明其秩<3，行列式为0，用算出的结果带入$\beta$，看是否符合要求

312：$\alpha_1$和$\alpha_2$就是最大线性无关组了，说明$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$没有满秩

314：运用了秩运算的性质，不满秩矩阵×满秩矩阵=不满秩

316：根据秩零定理，基础解系的秩=列空间的秩-矩阵的秩

323：特征值同样可以参与多项式运算，如果$A$的特征值是4,3,2，那么$A-E$的特征值就是3,2,1

324：从定义入手，解$\lambda$和$a$的方程，从而解出了方程

325：算出特征值，再有$(A-\lambda E)x=0$方程求其基础解系

326：写出方程组，再将方程组化成$AX=\lambda X$的形式，就可求出特征值

327：因为是实对称阵，故特征向量两两正交，故可假设出未知的特征向量与已知的特征向量相乘，建立方程组，方程组的基础解系就是未知的特征向量

328：将特征值带入了方程

329：相似，说明行列式的值一致，并且特征值也一样

330：矩阵相似，那么秩也一样，所以可转换为矩阵$B$

332：矩阵方程可以化成相似对角化的标准形式，故可求出特征值

333：注意判定矩阵相似的概念

334：$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可以化为$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$，将$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$看做$P$，则方程化为化为$P^{-1}AP=B$

则$B$就是$A$的相似矩阵

335：是经典题，先利用327题正交矩阵的性质，将$\lambda=6$的特征向量求出来，然后对$\alpha_1，\alpha_2$进行施密特正交化，再单位化

338：注意正定的条件

340：如果知道了特征向量，可以列方程组来求解未知参数

349：注意到矩阵运算也可以用三次方公式$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

352：如果要符合交换律，1.两个对角矩阵 2.两个互逆 3.有一个零矩阵 4.伴随矩阵和原矩阵

357：代数余子式的转置矩阵才是伴随矩阵

370：注意秩零定理

373：了解伴随矩阵$A^*$和$A$的秩的关系

382：升阶时候，信息会保留

384：两种思路：1. 观察法：ABC选项中的4个向量组，通过加减运算最终都可以化为0，而D不行，2.计算法：写出4阶矩阵的行列式，如果行列式的值≠0，即线性无关，具体做法为：$\alpha_1+\alpha_2$可以写成$(1,1,0,0)^T$，以此类推

385：用384思路

387：意思就是$\alpha_1,\alpha_1,\beta_1,\beta_2$的秩只有2

395：自由元的意思就是去掉自由元所在列后，行列式不能为0的主元

396：相减之后是$Ax=0$的解，而不是方程的解

400：如果向量能有基础解系表示出来，自然是解向量了

403：有非零解的前提是要有解，而有解的前提是先行满秩，而行满秩的前提是$m≤n$

404：等价，但是向量组的个数不一定是3，需要的是向量组个数相同，且彼此线性无关的向量组

405：首先可以得知秩为4-2=2，然后根据$A\eta_2=0$，推出$\alpha_2$和$\alpha_4$，线性相关

409：常规方法是算出A的特征值，再根据特征值算出其特征向量，而在此题并不需要这样做，只需要挨个将特征向量带入，观察$Ax=\lambda x$是否成立即可

412：无论$\alpha_2$倍乘多少，其$A\alpha_2=\lambda \alpha_2$的等式仍然成立，所以$\lambda$ 仍是其特征值

413：因为$\alpha_2$和$\alpha_3$是不同特征值的特征向量，那么$\alpha_2+\alpha_3$就不是$A$的特征向量

414：注意判断矩阵相似化的条件

417：都带入$A=PBP^{-1}$的形式中尝试，观察是否能符合这个形式

418：二次型可以不是标准差形式

419：注意正惯性系数的概念，是指为正数的特征值的个数

425：注意矩阵合同的概念

614：两个高次幂矩阵都是初等变换矩阵

616：有一个＞0的二阶子式，所以不需要对$a$做进一步判定了

624：基础解系的数量=$n-k$

628：可以交换，那么假设出该矩阵，然后$AX=XA$，可以得出$X$的形式

641：主要是关于伴随矩阵的性质

651：注意自由元的概念

652：列不满秩才会有非零解

656：特征值时3,3,0，说明$\alpha_1,\alpha_2$的组合仍然是线性无关的